集合 ベン図 カップ キャップ ∪ ∩ 高認数学対策

数学の新範囲「ベン図」の問題の解き方の解説。数学が苦手な人でも簡単に解けます。ぜひ、高認数学の得点源にしよう!

ベン図の問題

ベン図とは

ここでは、集合の基礎知識(記号の意味など)が前提となりますので、集合が初めての方は、「集合の要素の個数」こちらのページで確認されてから、以下をお読みください。

ベン図とは、集合が表す範囲(領域)を図で表現したものです。ベン図の基本図は以下の図です。大きな四角い枠(全体集合)Uの中に、2つの丸い枠(部分集合Aと部分集合B)が重なって描かれています。

ベン図の基本図

全体集合Uとは、対象となる集合全体を表しています。問題は全体集合の中で考えます。そして、部分集合はその全体集合の中の一部です。

例えば、全体集合Uを「1以上10以下の整数」として、部分集合Aを「(1以上10以下の整数の中で)2の倍数」、部分集合Bを「(1以上10以下の整数の中で)3の倍数」のような条件で出題されます。

この場合、全体集合が「1以上10以下の整数」なので、例えば、15は3の倍数ですが、この問題では無視します。

※全体集合や部分集合を単に「集合U」「集合A」「集合B」のように呼ぶこともあります。


ベン図で集合を表現するには

ベン図では、それぞれの集合の領域を斜線や塗りつぶすことで示します。

例えば、次のベン図は部分集合Aを表しています。

部分集合Aを表すベン図


A∩BとA∪B

∩(キャップ)は2つの集合の共通部分、∪(カップ)は2つの集合を(重ね)合わせた部分です。ベン図に表すと次のようになります。

A∩Bを表すベン図

A∪Bを表すベン図

もし、上記の内容が理解できない方は、難しく考えすぎていると思われます。言っていることは超簡単なんです。Aの領域(円形)とBの領域(円形)があって、共通の領域(交わっているところ)が、A∩Bです。そして、2つの領域を合わせた領域がA∪Bです。

∩(キャップ)と∪(カップ)の向きは間違えないように、確実に覚えてくださいね。


次のベン図は、全体からAの部分の円形が抜けています(Aの内部が白)。

つまり「Aでない集合」です。これを数学では、 と表現します。

Aバー(Aの否定)を表すベン図

ここでは、割愛しますが、も「Bでない集合」なので、ベン図は、全体からBの部分が抜ける図になります(Bの内部が白)。


∩B

次の図は、実際の試験で正解としてよくある図(三日月形のベン図)です。少々難解ですが、このレベルが理解できると、高認の問題もラクに解けるようになるので、ぜひ、頑張ってください。

よく見ると「Aでない部分」と「B」との共通部分(∩キャップ)です。

数学的に表現すると、∩Bです。

AバーキャップBを表すベン図

よく理解できない人は、下の2つの図を見比べてみてください。あくまでも「Aでない部分」と「B」との共通部分です。共通部分なので、どちらか一方でも白い領域はNG! 除外されます。

Aバー(Aの否定)を表すベン図

Bを表すベン図


∪B

次の図は比較的簡単です。

「Aでない部分」と「B」とを(単純に)合わせた部分(∪カップ)です。

数学的に表現すると、∪Bとなります。

AバーカップBを表すベン図

この∪B(合わせた部分)と、先の∩B(共通部分)とを混同しないように注意してください。ここまで、クリアーできれば、あと残りの2つです。


A∩B(←どちらも同じベン図)

次の図は、ある一部分が抜けています。つまり、抜けている白い部分以外の領域を表しています。

抜けているのは、A∩Bの部分(白い部分)です。これ(A∩B)以外の領域を表しているので、A∩Bになります。

(AキャップB)バーを表すベン図

実はこのベン図、もう一つの見方があります。それは、の(重ね)合わせた部分ということです。そのため、と表すことができます。うまく理解できない方は、次の図をよく見て考えてみてください。

(AバーカップBバー)バーを表すベン図

試験(高卒認定/高認)の出題予想として、例えば「次のベン図の表す集合はどれか」というパターンが考えられます。上記のベン図で出題された場合、選択肢の中に、または、A∩Bのどちらかが含まれているので、それを選択すれば正解です。


A∪B(←どちらも同じベン図)

次の図で、抜けているのは、A∪Bの部分(白い部分)です。これ以外の領域を表しているので、A∪Bになります。

(AキャップB)バーを表すベン図

こちらももう一つの見方があります。との共通部分です(Aでもなく、Bでもない部分)。次の図でそれを確認してみてください。

共通部分なので、どちらか一方に白い部分があったらNG! 除外します。

AバーキャップBバーを表すベン図


過去問にチャレンジ!その1

次の問題は過去問題です。必要なことは、このページですべて説明してあります。正解だけでなく、正解でない図も、どんな集合を表しているのかを、数学的な記号で書けるようにしておきましょう。

平成13年度第2回大学入学資格検定の過去問

●解答・解説

1の白い部分はA∪Bです。それ以外の部分(A∪Bでない部分)なので、A∪Bを表しています。また、上の本文で説明してありますが、も表しています。

2は、A以外の部分()のうち、Bと重なっている部分(共通部分)です。つまり、∩Bを表しています。

3は、B以外の部分()のうち、Aと重なっている部分(共通部分)です。つまり、A∩を表しています。

4の白い部分はA∩Bです。それ以外の部分(A∩Bでない部分)なので、A∩Bを表しています。これが正解です。


過去問にチャレンジ!その2

次の問題も大検の過去問題ですが、問われ方が上の問題と少々違います。しっかり読めば解ける問題なので、惑わされずに頑張ってみましょう。また、それぞれの図は、どのような集合を表しているのか、数学的な記号で書けるようにしておきましょう。

20以下の自然数の集合を全体集合Uとし、その部分集合で、3の倍数全体の集合をA、4の倍数全体の集合をBとする。次の図の斜線部のうち、3の倍数であるが、4の倍数でない数の全体の集合を表しているものはどれか。

平成15年度第2回大学入学資格検定の過去問

●解答・解説

ごちゃごちゃと書かれていますが、
A(3の倍数全体の集合)であり、B(4の倍数全体の集合)でないということなので、
Aの中でBでない部分ということになります。この時点で、1が正解であることがわかる方もいらっしゃると思います。

※この問題では、「○の倍数」などと表現して、難しそうに見えますが、この問題では気にしなくても正解できます。

言い換えると、Aとの共通部分ということです。つまりA∩です。A∩を表す図は1です。

ちなみに、2は∩Bです。

3は、A∩Bです。

4は、A∪Bです。


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