一次不等式の文章問題(不等式を立てて解く)- 解法のポイント

今回の不等式の文章問題の解法のポイントは、問題文の日本語を読みながら、まずは「うちわけ図」を書くことです。そして、その図をもとに不等式を作って解けばOKです。数学が得意な方は、効率的に連立不等式を作って解いてもOKです。

一次不等式の文章題(不等式を立てて解く)

解法のポイントは、問題文の日本語を読みながら、まずは「うちわけ図」を書くことです。そして、その図をもとに不等式を作って解けばOKです。高卒認定試験では、以下に紹介する問題のように「最大何個買えるか?」というタイプの出題がよく見られます。

例題1

★★☆☆☆

1個120円のケーキと1個90円のアイスを合わせて50個買うことにした。代金の合計を5000円以下にするとき、ケーキは最大【アイ】個買うことができる。

出典:高等学校卒業程度認定試験 数学

目標は買うことのできる「ケーキの個数」です。この目標をχとして、問題文の日本語を図式化(うちわけ図)してみます。

不等式の例題1を解くためのうちわけ図

  1. まずは、目標(何を求めるのか)を確認します。問題文を見ると目標は【アイ】なので、ケーキの個数です。
  2. 目標(ケーキの個数)をχ個とします。
  3. 合計50個を買うのだから、アイスの個数は、50-χとなります(合計50個からケーキの個数を引く)。
  4. 代金は(1個の値段)×(個数)なので、
    アイスの代金は、120χ
    ケーキの代金は、90(50-χ)
    となります。
  5. 合計を5000円以下にするので、
    (アイス代)+(ケーキ代)≦5000
    となります。つまり、
    120χ+90(50-χ)≦5000
    です。
  6. この不等式を解いていきます。
    120χ+90(50-χ)≦5000
     120χ+4500-90χ≦5000
        120χ-90χ≦5000-4500
            30χ≦500
             χ≦16.666 …
  7. ケーキの個数χが16.666 …以下という計算結果になりました。
    (言い換えるとχの最大は16.666 …ということ)
  8. この「16.666 …以下」の意味を勘違いしないように気をつけましょう。
    ケーキの「個数」を考えているので、自然数で答えます。
    16.666 …個以下なので、16でも、15でも、10でも、1でもOKです。
    ここでは最大の個数を解答するので、16が正解です。
    (16.666 …個以下とは、16個はOKだけど、17個はNGということになります。)
    不等式の問題(例題1)の解説図

     

  9. ゆえに、ケーキは最大16個買うことができます。
正解:16個(アイ=16)

※この問題を連立不等式で解く場合は、ケーキの個数をχ、アイスの個数をとして、
χ+y=50 … ①
120χ+90y≦5000 … ②

を解きます。


例題2

★★☆☆☆

1個200円の桃と1個150円の梨を合わせて15個買い、120円の箱に詰める。その代金の合計を3000円以内にするとき、桃は最大【アイ】個まで買うことができる。

出典:高等学校卒業程度認定試験 数学

問題文を読むと、求めるのは桃の個数です。桃の個数をχ個として、図式化してみます。

不等式の例題2を解くためのうちわけ図

  1. まずは、目標(何を求めるのか)を確認します。問題文を見ると、目標は【アイ】なので、梨の個数です。
  2. 目標(梨の個数)をχ個とします。
  3. 合計15個を買うのだから、梨の個数は、
    15-χとなります(合計15個から梨の個数を引く)。
  4. 代金は(1個の値段)×(個数)なので、
    桃の代金は、200χ
    梨の代金は、150(15-χ)
    さらに、
    箱の代金が、120
    です。
  5. 合計を3000円以下にするので、
    (アイス代)+(ケーキ代)+(箱代)≦3000
    となります。つまり、
    200χ+150(15-χ)+120≦3000
    です。
  6. この不等式を解いていきます。
    200χ+150(15-χ)+120≦3000
     200χ+2250-150χ+120≦3000
           200χ-150χ≦3000-2250-120
               50χ≦630
                χ≦12.6 …
  7. 桃の個数χが12.6 …以下という計算結果になりました。
    (言い換えるとχの最大は12.6ということ)
  8. この「12.6 …以下」の意味を勘違いしないように気をつけましょう。
    桃の「個数」を考えているので、自然数で答えます。
    12.6個以下なので、12でも、11でも、10でも、1でもOKです。
    ここでは最大の個数を解答するので、12が正解です。
    (12.6個以下とは、12個はOKだけど、13個はNGということになります。)
    不等式の問題(例題2)の解説図

  9. ゆえに、桃は最大12個買うことができます。
正解:12個(アイ=12)
  • ※この問題を連立不等式で解く場合は、桃の個数をχ、梨の個数をとして、
    χ+y=15 … ①
    200χ+120y≦3000 … ②

    を解きます。


    問題を自力で解いてみよう!

    高卒認定の過去問題と過去問の類似問題です。ぜひ、鉛筆を持って、「うちわけ図」を紙に書いて、不等式を立てて、自力で解いてみてください。解答は問題下の「正解はこちら」をタップまたはクリックすると表示されます。

    問題1

    1本130円のミルクティーと1本100円の缶コーヒーを合わせて18本買い、その代金の合計を2000円以内にする時、ミルクティーは最大【カ】本まで買うことができる。

    出典:高等学校卒業程度認定試験 数学
    ▼正解はこちら
    正解:6本(カ=6)

    問題2

    みやげやで、1個280円のお菓子と、1個200円のキーホルダーを合わせて15個買い、その代金の合計を4000円以内にしたい。お菓子は最大【イウ】個まで買うことができる。

    出典:高等学校卒業程度認定試験 数学
    ▼正解はこちら
    正解:12(イウ=12)

    まとめ

    数学が得意な方は、このタイプの問題を機械的に連立不等式を立てて計算して、簡単に正解を得ることができると思います。しかし、数学が苦手な人は上記のような図を書いて解くことをおすすめします。なぜなら、イメージのないまま機械的に解くことを覚えても、問題の問われ方が変わったときに対応できなくなるからです。また、求めたいもの(ここでは「個数」)をχとして、もう一方を(全体-χ)として考えることは、他の分野でも数学の常套手段として使うことがしばしばあるので、ぜひ、覚えておきたい考え方です。


    /*他にもH29-2に類似問題あり(幕の内弁当の問題)*/

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