一次不等式の文章問題(卒業問題)- 解法のポイント

一次不等式の文章題(卒業問題)

今回は高卒認定試験の数学で出題された問題(不等式の文章題)の中で、一見難しいそうな問題を解いてみます。数学的な難しさというよりも問題文が多少複雑なため、日本語として正しく解釈するという意味で難しく見える問題です。数学的な解き方の手順はこれまでと同じです。問題文を不等式にして、解を求め、その解を正しく解釈して、正解を出すという基本的な流れでOKです。

例題

★★★★☆

長さが100mの1本のひもから、長さが5mと3mの2種類のひもを合わせて25本に切り分けるとき、5mのひもは最大カキ本まで切り分けることができる。ただし、ひもは余っても良いものとする。

出典:高等学校卒業程度認定試験 数学
  1. まず、目標(=解答すべきもの)を確かめます。
    問題文に「5mのひもは最大カキ本まで…」とあるので、目標は、5mのひもの本数です。これをχ(本)とします。
  2. 合計で25本に切り分けるので、
    5mのひもをχ(本)とすれば、
    3mのひもは25-χ(本)になります。すると、
    5mのひもの合計の長さは、(m)
    3mのひもの合計の長さは、3(25-χ)(m)
    となります。そして、この合計が100m以下になります。
  3. ここで、2を踏まえて、問題文の条件を不等式にしてみます。
          5χ + 3(25-χ)< 100
            5χ + 75-3χ< 100
            5χ - 3χ< 100 - 75
                2χ< 25
                χ< 12.5
  4. 解が出たので、その意味を考えて、解答します。
    この不等式の解を日本語にすると
    χ12.5(本)より小さい。」
    です。χはひもの本数なので、自然数で考えると、
    12、11、10、 … です。
    問題文を見ると、5mのひもの最大数を求めるので 12 本が正解です。
正解:12(イウ=12)

問題

★★★★☆

硬貨を投げて表が出たら階段を4段登り、裏が出たら1段登るゲームをする。硬貨を10回投げて階段を30段以上登るためには、表は少なくとも回以上出なければならない。

  1. まず、目標(=解答すべきもの)を確かめます。
    問題文に「表は少なくとも回以上出なければならない。」とあるので、目標は、硬貨を投げたときの「表の出る回数」です。「表の出る回数」をχ(回)とします。
  2. 合計で10回に投げるので、
    表の出る回数をχ(本)とすれば、
    裏の出る回数は、10-χ(回)となります。
    このとき階段を登る段数は、
    表が出て登るのは、1回4段なので、合計(段)
    裏が出て登るのは、1回1段なので、合計1(10-χ)(段)

    となります。そして、この合計が30段以上である必要があります。
  3. ここで、2を踏まえて、問題文の条件を不等式にしてみます。
    (表が出て登る段数)+(裏が出て登る段数)≧ 30
    これを、数式(不等式)で表わして計算すると、
          4χ + 1(10-χ)≧ 30
            4χ + 10-χ≧ 30
               4χ -χ≧ 30 - 10
                 3χ≧ 20
                  χ≧ 20/3
                  χ≧ 6.66…
  4. 解が出たので、その意味を考えて、解答します。
    この不等式の解を日本語にすると
    χ6.6(回)より大きい。」
    です。χは表の出る回数なので、自然数(=1以上の整数)で考えると、
    7、8、9、10、11 … です。
    問題文を見ると、表の出る最小の回数を求めるので 7 回が正解です。
正解:7(イ=7)

まとめ

ここまで、不等式の文章問題をLv1~Lv5まで5段階のステップで進んできましたが、問題の解き方の本質は同じです。問題文の条件を不等式で表して、解を求め、解の意味を正しく解釈して、正解を出すという流れになります。そして、複雑に見える問題ほど図式化するとわかりやすくなります。これらは、不等式の文章問題に限らず、数学の問題全般についていえることです。つまり、問題文の条件を方程式や不等式で表わして、それらを計算して解を求めるという流れは、数学の問題を解くときの基本姿勢です。


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