集合 要素の個数 カップ キャップ ∪ ∩ - 高認数学対策

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数学が苦手な人でも簡単な基礎用語(約数や倍数、カップとキャップなど)を覚えれば簡単に解ける!

集合の要素の個数

復活!!「集合と命題」

「集合と命題」は大学入学資格検定(大検)の数学Iで出題されていましたが、教育課程の改正に伴い、高認の数学の範囲外になりました。そして、再度、教育課程が改正され、平成26年以降の高卒認定(高認)の数学の範囲に「集合と命題」が再び加わることになりました。

※「集合と命題」は平成24年度の高校入学生から実施されている新教育課程の数学Iのカリキュラムに再び組み込まれました。平成26年の高卒認定試験(高認)は、新教育課程で実施されるため、数学Iの範囲に「集合と命題」が加わることになります。

高卒認定試験(数学)の「集合と命題」の出題内容としては、次の3つが考えられます。

1:集合の要素の個数を求める問題

2:ベン図を選ぶ問題

3:命題(命題の真偽、必要条件、十分条件)

過去問を見ると、1と2が中心に出題されることが予想されます。そのため、当サイトでは、1と2の問題の解き方を解説します。まず、こちらのページでは、1の「集合の要素の個数を求める問題」の解き方を解説します。

高卒認定試験(高認)対策として、特に数学が苦手な人向けの解説です。本文は長くなっていますが、鉛筆で書きながらゆっくりとチャレンジしてみてください。数学が超苦手な人でも理解できるはずですし、出題されれば、ほぼ確実に5点獲得できるでしょう。

※当サイトでは、数学が苦手な人のために、高卒認定試験の問題が解けること(正解すること)を優先した解説を行っているため、数学的な厳密性はございません。予めご了承ください。


基本事項を覚えよう

例えば、次のような問題が大検で毎回のように出題されました。その後、ベン図とよばれる図を使った問題(上記2)も出題されるようになりましたが「ベン図」の問題の解き方は、別のページで説明します。

H8年度

この問題の中に「全体集合」、「部分集合」、「偶数」、「3の倍数」、「補集合」などの用語が出てきますが、まずは、この用語を覚えることが第1歩です。下の表に覚えるべき内容をまとめました。

集合数や人のグループ
高認では、特に、整数、自然数、偶数、奇数、素数、3の倍数、24の約数などのように、数の集合が問題として出題されます。
全体集合問題を解くときの集合の範囲
例えば、「1以上5以下の整数を全体集合」とすると指定された問題では、1,2,3,4,5の範囲で考えます。7や10、-1などは無視します。
部分集合全体集合の中の一部分の集合のこと。
例えば、「0以上10以下の整数を全体集合のうち部分集合Aを奇数とする」と指定されている問題では、集合Aは1,3,5,7,9の5つのこと整数のことです。これを数学では、A={1,3,5,7,9}と表現します。
補集合着目している集合以外の要素(Aでない)
例えば「全体集合を1以上5以下の整数とし、
その部分集合Aを偶数(2と4)とする」と指定された問題では、
は、「Aでない」要素を意味するので、1,3,5の3つの整数のことです。
数学では、={1,3,5}と書きます。

※自然数は0が含まれないことに注意!

※素数とは、1または自分自身でしか割り切れない数のことです。例えば、4は1と2と4で割り切れるので、素数ではありません。これに対し7は1または7(自分自身)でしか割り切れないので素数です。素数は、2,3,5,7,11,13,17,19 …(兄さん5時に、セブンイレブン。父さん,いいなと、ついていく)と暗記しておくとよいでしょう。なお、1は素数ではないので要注意!

※一般的には、約数や倍数は負の数やゼロ(0)も含まれます。これまでの高卒認定(高認)試験を見ると、正の範囲で出題となっているので、ここでは正の範囲で考えます。


∩(キャップ)と∪(カップ)

ここでは、∩(キャップ)と∪(カップ)について、問題を解きながら説明します。

超簡単に言えば、∩(キャップ)は2つの集合の共通部分、∪(カップ)は2つの集合を合わせたものです。

また「要素」という言葉が出てきますが、「要素」は集合の中身ひとつひとつのことを言います。実際の試験(高卒認定/高認)では要素の個数を解答する問題が多くなっています。

全体集合Uを,U={χ│χは1けたの自然数}とし,Uの部分集合を
A={χ│χは7以下の素数},
B={χ│χは1けたの奇数},
C={χ│5≦χ≦7}
とするとき,次の集合の要素を求めよ。

(1) A∩B   (2) A∪B   (3)    (4)    (5) A∩  

(6) A∪   (7) ∩B   (8) A∩B

まずは、集合を書き表します。試験でも実際に書いてください。

U={χ│χは1けたの自然数}

と数学独特な表現をしていますが、これは全体集合は1けたの自然数ということを表しています。つまり、

U={1,2,3,4,5,6,7,8,9}

となり、この問題はこの1~9までの範囲で考えるということです。

※集合のUとカップの∪は形が似ているので、混同しないように気をつけてくださいね。

同じように、部分集合A,B,Cも書き出してみます。

A={2,3,5,7}
B={1,3,5,7,9}
C={5,6,7}

となり、これで準備完了です。

※Aの「7以下」は7を含みますので注意してください。つまり、「以下」や「以上」はその数を含みます。Cの5≦χ≦7は<の下に=があるので、5と7を含みます。

まず、(1)のA∩Bですが、∩(キャップ)は2つの集合の共通部分(共通要素)なので、AとBを見比べて、共通なもの(同じ数)を探します。
すると、3,5,7が共通であることがわかります。よって、

A∩B={3,5,7}

が正解です。

(2)のA∪Bですが、∪(カップ)は2つの集合を合わせたすべての要素です。AとBを見比べて、すべての数を書き出します。
AとBを合わせると、2,3,5,7,1,3,5,7,9となりますが、同じ要素は重複しないように書いて、小さい順に並べるというルールがあるので、

A∩B={1,2,3,5,7,9}

が正解です。

次に(3)のですが、Aの頭に棒(━)があります。これは「エイバー」と読みます。そして、は、否定を意味し「Aでないもの」という意味になります。

Aは「7以下の素数」であることを問題で指定されているので、「Aでないもの」とは「7以下の素数でないもの(2,3,5,7でないもの)」という意味です。あくまでも、全体集合U={1,2,3,4,5,6,7,8,9}の中で考えます。この中で、「Aでないもの」を書き出せばOK。A(2,3,5,7)を除けばよいのです。

={1,4,6,8,9}

が正解です。

同じように(4)のは、

={2,4,6,8}

が正解です。

(5)のA∩は、はじめに書き出した

A={2,3,5,7}

と(4)で求めた

={2,4,6,8}

の∩(キャップ)です。つまり、Aとの2つの集合の共通部分(共通要素)です。よく見比べて、もれなく書き出しましょう。すると

A∩={2}

となり、要素はひとつです。

同じように、(6)のA∪は、

A={2,3,5,7}

={2,4,6,8}

を見比べて、∪(カップ)を書き出します。2つの集合を合わせたすべての要素を重複しないように、小さい順に、もれなく書き出します。

A∪={2,3,4,5,6,7,8}

となります。

(7)の∩Bは、

={1,4,6,8,9}

B={1,3,5,7,9}

を見比べて、共通する要素をすべて書き出します。

∩B={1,9}

となります。

最後の(8) A∩Bですが、A∩Bの全体のバー(否定)なので、A∩Bでないものを書き出します。

A∩Bは(1)で求めており、

A∩B={3,5,7}

なので、全体集合Uの中から3,5,7を除いたものを書き出せばOKです。

A∩B={1,2,4,6,8,9}

になります。

このように「集合と要素の個数の問題」では、実際に要素を書き出して考えることが大切です。基礎を覚えれば、集中力の問題と言えるでしょう。


自力で過去問を解いてみよう!

このページで最初に掲載した問題です。ぜひ、自力で解いてみてください。頭の中で考えずに必ず紙に書いて考えてください。

H8年度

まず、全体集合を書き出します。自然数は0や負の数(マイナス)は含まれないことに注意してください。

U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20}

部分集合Aは偶数なので、

A={2,4,6,8,10,12,14,16,18,20}

部分集合Bは3の倍数なので、

B={3,6,9,12,15,18}

(1)のA∩Bで、∩(キャップ)は2つの集合の共通部分(共通要素)なので、AとBを見比べて、共通なもの(同じ数)を探して、書き出します。すると、

A∩B={6,12,18}

となるので、要素の個数は「3個」が正解です。

※ちなみに、この問題は、偶数で3の倍数(偶数かつ3の倍数=6の倍数)を、全体集合(1~20までの自然数)中から探して、書き出せばよいことになります。

続いて、(2)のA∪ですが、を書き出してから考えます。は「3の倍数でない」ということなので、

={1,2,4,5,7,8,10,11,13,14,16,17,19,20}

A∪は、Aとを合わせた集合なので、

A∪={1,2,4,5,6,7,8,10,11,12,13,14,16,17,18,19,20}

となり、要素の個数は17個になります。


〔正解〕
ア=3,イウ=17


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